Bài toán tìm điểm m thuộc mặt phẳng sao cho MA+MB min nhỏ nhất hoặc MA-MB lớn nhất

Dạng tổng quát

Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $left( MA+MB right)_min $hoặc $ MA-MB right_max$

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P).

Bạn đang xem: Ma+mb nhỏ nhất

+) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán $left( MA+MB right)_min $phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó

$MA+MB=MA’+MBge A’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow A’,M,B$ thẳng hàng hay $M=A’Bcap (P)$ .

Bài toán tìm $ MA-MB right_max$ , ta có $left| MA-MB right|le ABRightarrow M$ là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).

+) Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán$left_max$ phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm$left( MA+MB right)_min $ $Rightarrow $M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).

Bài tập trắc nghiệm cực trị hình không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ , cho 2 điểm $Aleft( -1;3;-2 right);Bleft( -3;7;-18 right)$và mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Đặt $f=2x-y+z+1=0$ ta có: $fleft( A right).fleft( B right)>0Rightarrow $A,B cùng phía với mặt phẳng (P).

Gọi $A’$ là điểm đối xứng của A qua $(P):2x-y+z+1=0$$Rightarrow AA’:fracx+12=fracy-3-1=fracz+21$

Gọi$Ileft( -1+2t;3-t;-2+t right)=AA’cap (P)$ suy ra $2(-1+2t)-(3-t)-2+t+1=0$

$Leftrightarrow t=1Rightarrow I(1;2;-1)Rightarrow A(3;1;0)$.

Khi đó $MA+MB=MA’+MBge A’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow A’,M,B$ thẳng hàng.

Xem thêm: Làm cách nào để kháng lại hiệu ứng hoảng sợ của ak bul và kang gwi

Phương trình đường thẳng $A’Bleft{ beginarray x=3+u y=1-u z=3u endarray right.Rightarrow M=A’Bcap (P)Rightarrow M(3+u;1-u;3u)$

Xem Thêm : Nhận Quà Boom Online Hoàn Toàn Miễn Phí 100

Giải $Min (P)Rightarrow u=-1Rightarrow M(2;2;-3)$.

Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-2=0$và 2 điểm $Aleft( 2;3;0 right);Bleft( 2;-1;2 right)$. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho $left| MA-MB right|$ lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu $f=x-y+2z-2=0$ . Ta có $fleft( A right).fleft( B right)<0$ nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi $A’$ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có: $AA’:fracx-21=fracy-3-1=fracz2$

Khi đó $I=AA’cap (P)Rightarrow (2+t;3-t;2t)Rightarrow t+2+t-3+4t-2=0Rightarrow t=frac12$

$Rightarrow Ileft( frac52;frac52;1 right)Rightarrow A'(3;2;2)$

Lại có $left| MA-MB right|=left| MA’-MB right|le A’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow A’,M,B$ thẳng hàng.

Khi đó $A’Bleft{ beginarray x=3+u y=2+3u z=2 endarray right.Rightarrow M=A’Bcap (P)Rightarrow Mleft( frac92;frac132;2 right)$.

Bài tập 3: : Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho điểm $Aleft( 3;1;0 right);Bleft( -9;4;9 right)$và mặt phẳng (P) có phương trình $(P):2x-y+z+1=0$. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $left| IA-IB right|$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a +b +c bằng

A. $a+b+c=22$. B. $a+b+c=-4$. C. $a+b+c=-13$. D. $a+b+c=13$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $fleft( x;y;z right)=2x-y+z+1Rightarrow left{ beginarray f(x_A;y_A;z_A)=6 f(x_B;y_B;z_B)=-12 endarray right.Rightarrow f(A).f(B)=-72<0$.

Do đó hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Có thể bạn quan tâm: Đề Thi Logic Học Đại Cương Có Đáp Án

Xem Thêm : Chuyển tiền từ MB sang Agribank mất bao lâu – Hướng dẫn

Gọi $B’$ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (P) $Rightarrow left( BB’ right):fracx+92=fracy-4-1=fracz-91$.

Điểm $Hin (BB’)Rightarrow Hleft( 2t-9;4-t;t+9 right)in left( P right)to 2(2t-9)-(4-t)+t+9+1=0Rightarrow t=2$

Ta có $left| IA-IB right|=left| IA-IB’ right|le A’BRightarrow IA-IB right_max =AB’$$Rightarrow $I là giao điểm của $AB’$và mặt phẳng (P).

Lại có $overrightarrowAB’=left( -4;-1;13 right)Rightarrow overrightarrowu_(AB’)=(4;1;-13)Rightarrow (AB’):fracx-34=fracy-11=fracz-13$.

Điểm $Iin (AB’)Rightarrow Ileft( 4t+3;t+1;-13t right)in left( P right)to I(7;2;-13)Rightarrow a+b+c=-4$. Chọn B

Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng (P) có phương trình $(P):x-y+2z+2=0$và 2 điểm $Aleft( 0;1;-2 right);Bleft( 2;0;-3 right)$. Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Tính giá trị của T= a+b+c.

A. $T=-5$. B. $T=-frac15$. C. $T=-1$. D. $T=frac15$.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu $f=x-y+2z+2$ ta có $fleft( A right).fleft( B right)>0Rightarrow $ nên A,B nằm cùng phía với (P).

Gọi $A’$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).

Khi đó$MA+MB=MA’+MB’ge A’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow A’,M,B$ thẳng hàng.

Phương trình $AA’:fracx4=fracy-1-1=fracz+22$. Gọi $H=textAA’cap left( P right),Hleft( t;1-t;-2+2t right)$

Cho $Hin left( P right)Rightarrow t+t-1+4t-4+2=0Leftarrow t=frac12Rightarrow Hleft( frac12;frac12;-1 right)Rightarrow A'(1;0;0)$.

Khi đó $A’B:left{ beginarray x=1+t y=0 z=-3t endarray right.Rightarrow M=A’Bcap left( P right)Rightarrow Mleft( frac85;0;-frac95 right)Rightarrow a+b+c=-frac15$. Chọn B.

Có thể bạn quan tâm: TỔNG ĐÀI ĐẶT VÉ MAI LINH